Das perfekte Mathe-Geschenk: Kleinsche Flasche

Die Kleinsche Flasche

Die Kleinsche Flasche ist nach dem deutschen Mathematiker Felix Klein benannt, denn er hat diese topologische Form erstmals untersucht, und zwar im Jahr 1882. Eine Besonderheit dieses mathematischen Objektes besteht darin, dass bei einer Kleinschen Flasche das Innere zugleich das Äußere ist oder anders gesagt: Man kann vom vermeintlich Inneren die Außenseite erreichen, ohne dabei über eine Kante zu gehen wie dies bei einem (normalen) Trinkbecher der Fall ist. Deshalb ist es theoretisch nicht möglich, Inneres und Äußeres zu unterscheiden. Mathematisch betrachtet hat die Klein Flasche damit auch kein Volumen. Eine vergleichbare Form ist das Möbiusband, das man erhält, wenn man einen Papierstreifen einmal verdreht und dann zusammenklebt. Auch hier ist es dann möglich, vom Inneren zum Äußeren zu wechseln, ohne dabei über eine Kante zu gehen. Das können Sie selbst ausprobieren. Eine Anleitung dazu finden Sie hier.

Deutlich wird bei den Experimenten mit dem Möbiusband außerdem, wie es sich mit dem Übertritt in eine höhere Dimension verhält, der auch bei der Kleinschen Flasche eine Rolle spielt. In drei Dimensionen durchdringt sich die Klein Flasche selbst (s. Video bei den Produkten). In einem Raum mit vier Dimensionen wäre dem nicht so, wobei man sich dies natürlich nicht vorstellen kann. Dennoch kann hier die Analogie zum Möbiusband helfen. 

Bei einem Papierstreifen handelt es sich zunächst einmal lediglich um ein flaches, also zweidimensionales Ding mit einer Länge und einer Breite (sieht man von der Dicke ab). Erst wenn man es krümmt und die Enden zusammenklebt, so dass das Möbiusband entsteht, kommt eine weitere Dimension hinzu, und zwar die der Höhe. 

Die Kleinschen Flaschen, die Sie hier im Shop kaufen können:

• Kleinsche Flasche Mirko: Höhe ca. 2,7 cm,  Mini: Höhe ca. 11 cm, Midi: Höhe ca. 14 cm, Maxi: Höhe ca. 20 cm
• Klein Bottle Opener: Eine Klein Flasche als Flaschenöffner
• Kleinsche Flasche als Weinkaraffe, als Bierhumpen und als Ohrringe