Kleinsche Flasche (Höhe ca. 17 cm)

Der Begriff Kleinsche Flasche steht für ein geometrisches Objekt, das Mathematiker liebevoll als nicht-orientierbare zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit bezeichnen. Das bedeutet unter anderem, dass im Fall einer Kleinschen Flasche das Innere zugleich das Äußere ist oder anders gesagt: Man wechselt die Seiten, ohne die Seiten zu wechseln, d.h. man kann vom vermeintlich Inneren die Außenseite erreichen, ohne dabei über eine Kante zu gehen wie etwa bei einem (normalen) Trinkbecher. Deshalb ist es nicht möglich, Inneres und Äußeres zu unterscheiden. Damit hat dieses Produkt zumindest mathematisch betrachtet auch kein Volumen.

Entscheidend ist in all dem, dass sich die Kleinsche Flasche selbst durchdringt. Dies gilt jedoch nur in unserem dreidimensionalen Raum. In einem Raum mit vier Dimensionen wäre dem nicht so. Nun fällt es dem Menschen gemeinhin schwer, sich einen solchen vierdimensionalen Raum überhaupt vorzustellen. Daher sei dies hier nur am Rande erwähnt. Die Kleinsche Flasche jedenfalls ist nicht nur für Mathematiker und hier besonders Topologen interessant, sondern überhaupt ein sehr spannendes Phänomen.

• zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit aus Glas
• eine Flasche mit (mathematisch betrachtet) null Volumen
• sehr dekorativ

Kleinsche Flaschen sind ein tolles Geschenk für Mathematiker und Physiker und alle, die eine Freude an solchen kuriosen mathematischen Spielereien haben. Geliefert wird sie in einer dekorativen Verpackung (Beschriftung auf Englisch).

Benannt ist die Kleinsche Flasche nach dem deutschen Mathematiker Felix Klein, der diese topologische Form 1882 erstmals untersuchte. Eine vergleichbare Form ist das Möbiusband, das man erhält, wenn man einen Papierstreifen einmal verdreht und dann zusammenklebt. Auch hier ist es dann möglich, vom Inneren zum Äußeren zu wechseln, ohne dabei über eine Kante zu gehen.

Am einfachsten lässt sich dies zeigen, wenn man einen Stift auf eine beliebige Stelle auf dem Papier hält und dann einmal entlang des Möbiusbandes fährt. Am Ende kommt man genau wieder am Startpunkt heraus, und dies tatsächlich ohne eine Kante überquert zu haben. Das Möbiusband ist nach dem Astronomen und Mathematiker August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) benannt, der es im Jahr 1858 erstmals beschrieb (s. Wikipedia). Spannende Experimente zum Möbiusband gibt es hier. Im Video ist außerdem zu sehen, dass sich eine Kleinsche Flasche zu einem Möbiusband auffalten lässt (und natürlich auch wieder zusammenfalten). Würde man eine Kleinsche Flasche in zwei Hälften teilen, so erhielte man zwei Möbiusbänder.

Der Kommentar unseres Korrektors zum Begriff „zweidimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit“: „Wer hätte gedacht, dass Mathematiker zu so poetischen Wendungen fähig sind.“ Die Topologie beschäftigt sich mit Formen, die sich nicht ändern, auch wenn sie beispielsweise gedehnt oder verdreht werden. Zerstört werden dürfen sie bei diesem Prozess jedoch nicht und die Formänderung muss stetig vor sich gehen.