Labs Septic mit 99 Singularitäten - Wandbild

Auf diesem Wandbild ist eine Labs Septic mit 99 Singularitäten zu sehen. Diese zauberhafte algebraische Weltrekordfläche ist das Ergebnis der Dissertation des Mathematikers Oliver Labs aus dem Jahr 2004. Sie wurde auf Dibond im Format 30 x 30 Zentimeter gedruckt, wobei sich auf der Rückseite der Platte eine Halterung zum Aufhängen des Wandbildes befindet. Bei Dibond handelt es sich um ein sehr leichtes und zugleich stabiles Aluminium-Kunststoff-Verbundmaterial.

Seit 1999 visualisiert Oliver Labs mathematischen Gebilde, um abstrakte algebraische Gleichungen in reale Objekte zu verwandeln und dadurch sinnlich erfahrbar zu machen. Solche Wandbilder sind ein ganz wunderbares Geschenk für Mathematiker im Allgemeinen und Fans der algebraischen Geometrie im Besonderen.

Die Labs Septic: Ein Weltrekordhalter

In der Welt der Mathematik stellt die Labs Septic eine so genannte Weltrekordfläche dar. Der Grund: Es handelt sich um eine algebraische Fläche mit dem Grad 7 und die Konstruktion einer solchen Fläche mit so vielen Singularitäten schien vor einigen Jahren noch schwierig bis unmöglich. Zwar entdeckte der russische Mathematiker Alexander Nikolaevich Varchenko im Jahr 1982, dass Flächen von Grad 7 höchstens 104 Singularitäten aufweisen können. Erst 10 Jahre gelang es Sergei Chmutov von der Ohio State University tatsächlich eine Septic mit immerhin 93 Singularitäten zu konstruieren. Ein weiterer Durchbruch gelang Oliver Labs schließlich 2004 durch die Konstruktion einer Fläche von Grad 7 mit 99 Singularitäten – ein neuer Weltrekord. Es ist jedoch denkbar, dass bald eine Fläche von Grad 7 mit noch mehr Singularitäten entdeckt wird.

Aus dem Labyrinth der algebraischen Gleichungen zur Fläche

Aufgrund dieser Komplexität des Problems erforderte die Entdeckung der Labs Septic mit 99 Singularitäten eine monatelange Suche durch ein Labyrinth komplizierter Gleichungen, das sogar für die schnellsten Computer unlösbar schien. Nur durch strukturelle Überlegungen zu dem Problem konnte die entscheidende Abkürzung gefunden und die Fläche entdeckt werden. Wie komplex dieses Unterfangen im Falle der Labs Septic war, kann man sich vorstellen, wenn man die zur Labs Septic gehörende algebraische Gleichung mit seinen vielen Polynomen betrachtet, die über eine ganze Menge Zeilen reicht (s. unten). So komplex sind algebraische Gleichungen jedoch nicht immer.

Von Polynomen, Graden und Singularitäten

Betrachtet man als Beispiel die Fläche eines Zylinders, so lässt sich diese ebenfalls als ein Polynom darstellen, aber in diesem Fall kann dies unter anderem durch die einfache Gleichung x² + y² = 1 geschehen. Außerdem erkennt man: Beim Zylinder handelt es sich um eine algebraische Fläche von lediglich Grad 2, denn der höchste Exponent in der Formel ist die 2. Bei der Labs Septic ist dies jedoch die 7. Daher handelt es sich um eine algebraische Fläche von Grad 7.
Auch mögliche Singularitäten kann es im Falle solcher einfachen Flächen von Grad 2 nur eine einzige geben und nicht maximal 104 wie etwa bei Grad 7. Unter Singularität versteht man eine Unregelmäßigkeit in einer Fläche. Dabei kann es sich beispielweise um eine Spitze (Cusp) handeln. Singularitäten können jedoch auch andere Formen aufweisen. Eine solche Singularität im Fall des Zylinders wäre zum Beispiel eine Einschnürung, die das Objekt zu einem Doppelkegel macht mit einer Singularität in Form eines sogenannten gewöhnlichen Doppelpunktes.

Und so sieht die Formel zur Labs Septic mit 99 Singularitäten aus:

x^7-21*x^5* y^2+35*x^3* y^4-7*x*y^6+7* x^6*1+21*x^4* y^2*1+21*x^2* y^4*1+7*y^6* 1-57*x^4*1^3-114* x^2*y^2*1^3-57* y^4*1^3+(24/7* a^2+768/49* a+800/7)*x^2* 1^5+(24/7*a^2+768/49* a+800/7)*y^2* 1^5+(-149808/2401* a^2+3216/343* a-147584/2401)* 1^7+(-49*a^2+7* a-52)*x^4*1^2* z+(-98*a^2+14* a-104)*x^2* y^2*1^2*z+(-49* a^2+7*a-52)* y^4*1^2*z+(128/7* a^2+704/49* a+128/7)*x^2* 1^4*z+(128/7* a^2+704/49* a+128/7)*y^2* 1^4*z+(-1632/343* a^2+16/7*a-192/343)* 1^6*z+(-98* a^2+14*a-101)* x^4*1*z^2+(-196* a^2+28*a-202)* x^2*y^2*1*z^2+(-98* a^2+14*a-101)* y^4*1*z^2+(3016/7* a^2-2904/49* a+440)*x^2* 1^3*z^2+(3016/7* a^2-2904/49* a+440)*y^2* 1^3*z^2+(-17440/343* a^2+416/49* a-17040/343)* 1^5*z^2+(-49* a^2+7*a-50)* x^4*z^3+(-98* a^2+14*a-100)* x^2*y^2*z^3+(-49* a^2+7*a-50)* y^4*z^3+(5776/7* a^2-5648/49* a+5888/7)*x^2* 1^2*z^3+(5776/7* a^2-5648/49* a+5888/7)*y^2* 1^2*z^3+(-313136/343* a^2+6288/49* a-319264/343)* 1^4*z^3+(3680/7* a^2-3608/49* a+536)*x^2* 1*z^4+(3680/7* a^2-3608/49* a+536)*y^2* 1*z^4+(-592240/343* a^2+11856/49* a-603856/343)* 1^3*z^4+(816/7* a^2-800/49* a+832/7)*x^2* z^5+(816/7* a^2-800/49* a+832/7)*y^2* z^5+(-458832/343* a^2+1312/7* a-467840/343)* 1^2*z^5+(-166272/343* a^2+3328/49* a-169536/343)* 1*z^6+(-166272/2401* a^2+3328/343* a-169536/2401)* z^7

Quelle: Persönlicher Austausch mit Dr. Oliver Labs und Oliver Labs: Weltrekordflächen (PDF als Download). Hersteller: MO-Labs Dr. Oliver Labs.