Labs Quintic mit 15 Singularitäten - Wandbild

Eine algebraische Fläche namens Labs Quintic mit 15 Spitzen, die auf Dibond im Format 30 × 30 Zentimeter gedruckt wurde. Konstruiert hat sie der Mathematiker Oliver Labs im Jahr 2005. Die Labs Quintic stellt nicht nur ein besonders ästhetisches Beispiel für Mathematik als Kunst dar. Durch die große Anzahl an Spitzen auf dieser speziellen algebraischen Fläche von Grad 5, handelt es sich auch um eine sogenannte Weltrekordfläche. Theoretisch möglich soll die Anzahl von 20 Singularitäten oder Spitzen sein. Ob die aber tatsächlich erreichbar ist, ist unbekannt. Auch ist aktuell offen, ob es noch jemandem gelingen kann, eine Quintic mit mehr als 15 Singularitäten zu konstruieren. Nur eines ist sicher: Als Wandschmuck stellt die Labs Quintic ein tolles Geschenk für Mathematiker und Mathematikerinnen sowie alle Mathe-Fans.

Von der Mathematik zur Kunst

Seit vielen Jahren schon hat Labs sich auf die Konstruktion interessanter algebraischer Kurven und Flächen spezialisiert. Zugleich befasst er sich mit deren Visualisierung und der Untersuchung der auftretenden algorithmischen Probleme. Heraus kommen - wie gerade hier schön zu sehen ist - algebraische Flächen mit erstaunlich vielen Singularitäten, die dank moderner Virtualisierungssoftware auf besondere Weise sinnlich erfahrbar werden. Denn ist die gewünschte Gleichung erst einmal gefunden, besteht die Kunst darin, das Material, die Farben für Objekt und Hintergrund sowie die Lichteffekte so zu wählen, dass die Flächen in ihren Eigenheiten gut zur Geltung kommen. Viele algebraische Flächen erstrecken sich außerdem ins Unendliche. Daher ist es oft notwendig, diese entsprechend zu beschneiden.

Bei der Labs Quintic handelt es sich um die visuelle Darstellung der folgenden algebraischen Gleichung.

S5(x, y)+t(z) = 0, wobei
S5(x, y) = x5−10x3y2+5xy4−5x4−10x2y2−5y4+20x2+20y2−16 ein regelmäßiges Fünfeck beschreibt und das Polynom
t(z) = −3z5+10z3−15z−8 eine Variante der sogenannten Tchebychev Polynome darstellt.

Algebraische Flächen mit Singularitäten

Theoretisch lässt sich (fast) jede Form in der Natur als mithilfe mathematischer Formeln beschreiben. Umgekehrt können Mathematiker mittels komplexer Gleichungen (fast) beliebige Gebilde bzw. Flächen konstruieren und visualisieren, vorzugsweise jedoch solche, die spezielle Eigenschaften aufweisen.

Für Mathematiker besonders interessant sind algebraische Flächen, die nicht glatt sind wie etwa eine Kugeloberfläche, sondern sogenannte Singularitäten aufweisen. Dabei kann es sich zum Beispiel um Spitzen, auch Cusps genannt, handeln wie bei der Labs Quinitc. Die Quintic, die hier zu sehen ist, hat insgesamt 15 Singularitäten: 5 vom Typ A2-- und 10 vom Typ A2+-. Die Bezeichnung Quinitc bezieht sich auf den Grad des Polynoms, der wiederum durch den höchsten Exponenten – in diesem Fall die 5 – definiert wird.

Für eine Singularität vom Typ A2 wie sie bei der Labs Quintic vorkommt, stelle man sich - etwas vereinfacht betrachtet - ein ausgebreitetes Bettlaken vor. Entweder wird dieses an einem Punkt in der Mitte des Lakens an einem Faden hochgezogen oder aber an zwei von vier Seiten des Lakens. Im ersten Fall hat man es mit einer Singularität vom Typ A2-- zu tun, im zweiten Fall mit einer Singularität vom Typ A2+-. Dabei ist nachgewiesen ist, dass eine Quintic maximal 20 Cusps besitzen kann. Aktuell ist die Labs Quintic mit ihren 15 Cusps der Weltrekordhalter für Singularitäten des Typs A2 bezogen auf den Grad des Polynoms.

(Mehr Informationen zu Begrifflichkeiten finden Sie hier.)

Quelle: Persönlicher Austausch mit Dr. Oliver Labs und Oliver Labs: Weltrekordflächen (PDF als Download). Hersteller: MO-Labs Dr. Oliver Labs.